INTEGRAL PARSIAL DAN RUMUSNYA

Kalkulus 2 Pertemuan 3

Pengertian Integral Parsial

        Integral parsial adalah teknik pengintegralan dengan cara parsial. Apa itu teknik parsial? Teknik parsial adalah teknik penyelesaian integral dengan cara pemisalan karena komponen yang diintegralkan memuat variabel yang sama namun berbeda fungsi. Biasanya, integral parsial ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang cukup komplek. Bentuk umum integral parsial adalah sebagai berikut.

 

Adapun keterangan masing-masing variabel adalah sebagai berikut.

u = f(x), sehingga du = f(x)dx

dv = g(x)dx, sehingga v = g(x)dx

Jika f(x) berupa polinom derajat n ≥ 1, n ∈ asli, maka bentuk formula di atas bisa disederhanakan seperti skema berikut.

           Tabel di atas menunjukkan bahwa, kolom fungsi f(x) di sebelah kiri merupakan fungsi yang harus diturunkan sampai turunannya bernilai 0. Sementara itu, kolom fungsi g(x) sebelah kanan harus diintegralkan sampai kolom sebelah kiri bernilai 0. Ketentuan lainnya adalah tanda fungsinya selalu beselang-seling, yaitu dari positif (+) menjadi negatif (–) dan seterusnya.

Dengan demikian, bentuk integralnya bisa dituliskan sebagai berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

Pembahasan:

        Pertama, kamu harus membuat permisalan seperti pada pembahasan sebelumnya. Jika dalam memisalkan kamu menemukan adanya pangkat 2 (polinom derajat 2), gunakan cara skema agar pengerjaan menjadi lebih cepat.

Misal, u = x2 polinom derajat 2. Dengan demikian, akan lebih mudah menggunakan cara skema seperti berikut.

Contoh Soal 2

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

Pembahasan:

Bentuk soal di atas diselesaikan dengan metode dasar karena tidak mengandung polinom derajat bilangan asli.

dv = dx, maka v = x

Kemudian, gunakan cara berikut.

Jadi, hasil integral dari adalah xInx – x + c.

Integral Parsial pada Fungsi Trigonometri

           Ternyata, fungsi trigonometri juga bisa diintegralkan, lho. Kamu akan lebih mudah memahami integral trigonometri jika sebelumnya pernah belajar tentang turunan trigonometri. Hal itu karena integral merupakan bentuk antiturunan. Bentuk integral trigonometri, khususnya sin x dan cos x, harus mengikuti alur berikut ini.

Alur di atas memiliki arti berikut.

• Jika sin x diinteralkan, akan dihasilkan –cosx.
• Jika cos x diintegralkan, akan dihasilkan sin x.

Mengingat fungsi sin x dan cos x bisa diintegralkan secara terus menerus, maka teknik parsial berlaku dalam hal ini. Agar lebih paham, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 3

Tentukan hasil integral dari persamaan berikut.

 

Pembahasan:

Misal, u = x, polinom derajat 1. Untuk memudahkan, gunakan cara skema.

Jadi, hasil integral dari persamaan adalah –xcos x + sin x + c.

        Sampai disini ya teman-teman kalau ada kesalahan saya minta maaf ya bisa di komentar dibawah kalau saya ada salah biar bisa saya koreksi. Komentar dari teman-teman bisa membantu saya, jangan lupa di bagikan ya jika ini sangat bermanfaat, agar ilmunya dapat berkembang dan bisa bermanfaat bagi orang banyak, Terima kasih.