INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Fungsi Rasional

Fungsi rasional yang dimaksud adalah fungsi-fungsi berbentuk \dfrac{p(x)}{q(x)} , dengan p(x) dan q(x) masing-masing suatu polinom derajat m dan n, (m < n).

p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + ... + p_m x^m , p_m \neq 0 disebut polynomial derajat m.

Teknik Teknik pengintegralan fungsi rasional didasarkan pada penguraian bentuk \dfrac{p(x)}{q(x)} menjadi bentuk yang lebih sederhana berdasarkan faktor dari polinomial q(x). Bentuk inilah yang lalu diintegralkan. 

Aturan yang dapat dipedomani untuk penguraian bentuk \dfrac{p(x)}{q(x)} sebagai berikut :

  1. Untuk setiap faktor dari q(x) berbentuk (ax+b)^k, maka penguraian faktor tersebut berbentuk :

    \dfrac{A_1}{ax+b} + \dfrac{A_2}{(ax+b)^2} + \cdots + \dfrac{A_k}{(ax+b)^k}

  2. Untuk setiap faktor dari q(x) berbentuk (ax^2 + bx + c)^k , maka penguraian faktor tersbut berbentuk :

    \dfrac{A_1 x+B_1}{ax^2+bx+c} + \dfrac{A_2 x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} + \cdots + \dfrac{A_k x+B_k}{(ax^2+bx+c)^k} 



    Contoh :

    \displaystyle \int \dfrac{x^3-1}{x^3+x} dx = \ldots

    Dalam hal ini p(x) = x^3-1 berderajat 3 dan $latex q(x) = x^3 + x$ juga berderajat 3.

    \displaystyle \int \dfrac{x^3-1}{x^3+x} dx = \int \left(1 + \dfrac{-1}{x} + \dfrac{x-1}{x^2+1} \right) ~dx

    = \displaystyle \int 1 ~dx + \int \dfrac{-1}{x} ~dx + \int \dfrac{x-1}{x^2+1} ~dx

    = \displaystyle \int 1 ~dx - \int \dfrac{1}{x} ~dx + \int \dfrac{x}{x^2+1} ~d \left( \dfrac{x^2+1}{2x} \right) - \int \dfrac{1}{x^2+1}

    = \displaystyle \int 1 ~dx - \int \dfrac{1}{x} ~dx + \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x^2+1} ~d(x^2 + 1) - \int \dfrac{1}{x^2+1}~dx

    = x - \ln x + \dfrac{1}{2} \ln(x^2 + 1) - \tan^{-1} x + C

Komentar

Posting Komentar